Про смотреть документы уже сказали – свидетельство о собственности и паспорт владельца проверяйте, но это уже когда квартира понравилась и готовы снимать.
Во время осмотра не поленитесь проверить, что все включатели-выключатели, вытяжки, горелки и т.п. работают, а то в описи напишут ок, а когда будете обратно хозяину квартиру передавать, он еще денег возьмет за «поломку».
В договоре прописывайте, кто за что отвечает, в том числе с случаях поломок техники (стиралки/холодольника) и потопа кто покупает/возмещает и в каком размере, кто какие платежи оплачивает (телефон, счетчики, квартплату)

У агентов есть такая уловка: они начинают водить клиента по страшным-престрашным квартирам за ту цены, которую он готов снимать, надеясь на лучший вид помещения. После нескольких таких «просмотров» «клиент созрел» и на контрасте готов взять любую квартиру, что лучше этих страшненьких. По возможности надо просить фото до просмотра, иначе велика вероятность того, что квартира совершенно не соответствует описанию, а вы просто потеряете время.

Желаю удачи и моральных сил в этом трудном мероприятии.

"Camina siempre hacia delante pues lo que te estan esperando a ti pueden marcharse " (с)