Если вещей не много и не ночью, то сейчас можно легко доехать на метро с пересадкой на мармарай (отдельная ветка с тоннелем под Босфором). Выйдите прямо на вокзале в Сиркеджи, это 5 мин пешком от Султанахмета. Довольно быстро и совсем недорого (около 4 лир, если есть Исатнбул карт, жетоны дороже)
А вообще нормальные такси в аэропорту, выходите и садитесь в любую жёлтенькую машину. Их много. Нет никаких проблем ни с ожиданием, ни с посадкой. Цен точных не знаю. Скорее всего лир 60-80 возьмут.
Вот схема метро и всего рельсового транспорта. http://www.istanbul-ulasim.com.tr/media/24900/ag_2200px_1546px-01.jpg
От а/п Ататюрк по красной линии до конца (Еникапы) и там пересадка на Чёрную линию, это Мармарай, всего 1 остановка до Сиркеджи. Всё просто. При пересадке снова надо оплачивать проезд. Это Турция, везде и за всё платим