Консульству все равно, кимлик у вас или икамет - им важно, чтобы вы легально находились в Турции.
Если вы не собираетесь прописывать ребенка, учиться, лечиться и т.п. на родине, то для чего какие-то выписки из домовой книги?

Насколько я знаю, загран можно продлевать в консульстве, если встать там на учет. Опять же наличие кимлика или икамета здесь роли не играет.

"вы не в своей турции живете, а в "их" турецко-притурецкой Турции" (с).