...iken передает действие, во время которого параллельно которому происходит другое действие, выраженное главным глаголом. В данном случае главнм глаголом является olmak. То есть правильно : Sarhoşken hasta oluyorum. Но по турецки мы говорим Çok içince hastalanıyorum.

Пожалуйста, поправьте мои ошибки в русском языке