Если это а/п Ататюрк, то самое простое и безпроблемное для туриста сесть на автобус Havataş, который отходит от стоянки напротив выхода из аэропорта. Он ходит раз в 30 мин. Едет без остановок прямо в Таксим. Стоимоть проезда 10 лир. Автобусы большие белые с голубой надписью. Всякий вам подскажет, где они останавливаются.
Единственное, турки 1 мая как раз в Таксиме любят устраивать погромы и демонстрации, это у них традиция. Поэтому лучше 1 мая погулять в другом месте.
От Таксима до Султанахмета можно добраться несколькими способами. Пешком (мин. 45-50). Идёте вдоль всего пр. Истикляль, мимо Галатской башни вниз, выходите к набережной в Каракёй. Видите голубой Галатский мост. Переходите его. Идёте налево по трамвайный путям, которые вас через 10 мин приведут к Султанахмету и Св.Софии, там же и Топкапы. Можете подъехать на трамвае, когда выйдете к Галатскому мосту в Каракёй. Трамвай любой. Всего 3-4 остановки и вы в Султанахмете.
Второй вариант, если вам не хочется много ходить. И если вы живёте рядом с центральной площадью в Таксиме. Спускаетесь вниз в метро. Но садитесь не на метро, а на фуникулёр (там всё везде написано!) Фуникулёр через пару минут привезёт вас в Кабаташ. Выходите, пересаживаетесь на трамвай (там его конечная остановка) и едите до Султанахмета. Трамвай будет тот же, как если вы пешком дойдёте до Галатского моста.
Вариант третий. Садитесь на центральной площади в Таксиме на ретро трамвай, доезжаете до его конечной остановки, спускаетесь в туннель, садитесь на фуникулёр (это будет уже другой туннель в другой стороне проспекта!). Выходите из тоннеля и перед Галатским мостом садитесь на любой трамвай, переезжаете мост и выходите на 4-й остановке. Или же пешком вместо трамвая, гуляете через мост до Султанахмета Но, лучше этот вариант использовать на обратном пути из Султанахмета. Т.к. придётся подниматься на гору, чтобы добраться до Таксима. Тут очень помогает фуникулёр
Посмотрите всё на карте.
Совет. Сразу купите Истанбал Карт. Транспорт в Стамбуле оплачивается этой картой на входе. Она действует на всех видах. Трамвай, автобус, метро, паромы, электрички... Просто надо положить на неё деньги. По ней можно и второму человеку ездить, пробивая по два раза на входе.