-esi - это, по сути, непродуктивное для современного турецкого языка причастие, которое является практически синонимом причастия будущего времени (-ecek). Активно употреблялось в средние века (например, у Юнуса Эмре: Ne kapı vardır giresi / Ne yemek vardır yiyesi / Ne ışık vardır göresi, что равно: Ne girecek kapı var / Ne yeyecek yemek var / Ne görecek ışık var - Нет двери, через которую (к ним) можно было бы войти / Нет еды, которую (они) могли бы съесть / Нет света, который (они) могли бы увидеть - дидактическая поэма о мертвецах на кладбище). Т.е.: фактически, beğenilesi - это значит "тот, который может понравиться / должен понравится", dinlenilesi, например, şarkı - "тот, которого можно послушать / должно послушать или стоит послушать" (так же как и в регулярном причастии -ecek, перевод может немного варьировать в зависимости от контекста - от возможности до необходимости). Кстати, многие турки, в том числе и турецкие лингвисты, считают употребление причастия -esi в этом значении чистым выпендрежем.
Кроме того, -esi имеет в современном языке и ряд регулярных употреблений: 1) в конструкции желания -esi geliyor / -eceği geliyor: Çay içesim geliyor = Çay içeceğim geliyor - Хочется выпить чайку; 2) в ограничительных конструкциях -esiye kadar / dek / değin, что равно более употребимым конструкциям -inceye kadar, - ene kadar: Ahmet gelesiye kadar / gelene kadar / gelinceye kadar bu işi bitirmemiz gerekiyor - Нам нужно закончить работу до прихода (пока не пришел) Ахмет; 3) в проклятиях: Hay, eli kırılası kadın, çantamı nasıl da kapıp kaçtı - Какая -то тетка, чтоб у нее руки поотсыхали, выхватила мою сумку и убежала, gözü çıkası - чтоб ему повылазило, yere batası - чтоб он сквозь землю провалился, kör olası - чтоб он ослеп, geberesi - чтоб он сдох.