"На всякий случай я вожу свидетельство когда мы едем втроем (я, муж, ребенок)."
а его надо возить всегда, ибо без него никакой другой документ не показывает, кто является родителями ребенка.
одинаковость фамилий никогда аргументом родства не являлась, т.к. есть тети-дяди- бабушки-дедушки. и более дальние родственники с одинаковыми фамилиями