Слова gerek, gerekli и lazım в качестве сказуемого ("что-либо необходимо / является необходимым") – полные синонимы и имеют совершенно аналогичные синтаксические и коммуникативные функции; они все (равно как и словоформы на основе глагола gerekmek – gerekiyor, gerekir и т.д.) могут употребляться и с инфинитивом (-mek), и с усечённым инфинитивом (-me). Разница заключается не в словах, обозначающих необходимость, а в значениях инфинитива и усечённого инфинитива. Инфинитив – форма безличная (неопределённо-личная), т.е. она не указывает на субъекта, совершающего действие, ср.: Нужно интенсивно работать (кому? – неизвестно), Необходимо много читать (кому? – неизвестно); а усечённый инфинитив, благодаря входящим в его структуру аффиксам принадлежности (или, по-другому, релятивным аффиксам), указывает на то лицо, которое совершает действие, что в русском языке передается инфинитивом, но в сопровождении личного местоимения в дательном падеже: Мне нужно работать, Нам необходимо много читать.
Сравните: Нужно много работать: Çok çalışmak lazım = Çok çalışmak gerek = Çok çalışmak gerekli = Çok çalışmak gerekiyor; Мне нужно много работать: Çok çalışmam lazım = Çok çalışmam gerek = Çok çalışmam gerekli = Çok çalışmam gerekiyor. Все эти формы с точки зрения передаваемого смысла целиком равноценны; более того, сложно однозначно говорить даже о частотности употребления, поскольку все эти формы (а также и многие их производные) в той или иной степени можно встретить в речи, причем многое зависит от индивидуальной речи носителя (от воспитания, образования, возраста, от региона, где вырос человек) – есть люди, чаще употребляющие слово lazım (особенно люди более старшего возраста и те, кто происходит с востока Турции), а люди более молодые чаще употребляют gerek и его производные; но: какое слово Вы не употребите, в любом случае оно все равно будет правильным. С определенной долей вероятности можно сказать, что чаще употребляют формы -mek / -mesi gerekiyor (в позитивной форме) и -meye / -mesine gerek yok (в отрицательной форме), а в письменной речи (официально-деловые, канцелярские, научные тексты) – gerekir и gerekmektedir.
Что касается учебника, то если это П.И.Кузнецов, то там далеко не все и далеко не всегда четко и однозначно прописано. Кроме того, любой учебник дает разрозненные сведения, не дающие понятия о системе в целом, для этого нужно обращаться к грамматикам (с ними, правда, сложновато), а для определения значения слов – к толковому словарю (он вывешен на сайте Турецкого лингвистического общества, можно ввести через поиск Türkçe Sözlük).